ベクトル の 成分。 【高校数学B】三角形の面積のベクトル表示・成分表示とその証明

ベクトルの成分と大きさの応用問題~大きさの最小値を求める問題~

ベクトル の 成分

「ベクトル」 vector は、大きさと方向を同時に表すものである。 大きさは矢印の長さで、方向は矢印の向きで表す。 ベクトルの大きさとは 左の図において、ベクトルOAの大きさを1とすると、ベクトルOBの大きさは、それがOAの3倍あるならば、3になる。 図が正確なものならば、定規を用いてそれぞれ長さを測った後に両者の長さを比較すれば、ベクトルOBの大きさは求められる。 ベクトルの成分 ベクトルの成分は、ベクトルOAにおいて点Aの x座標を a 1、 y座標を a 2とする。 Oが原点 0,0 、点Aが 5,-3 であるベクトルOAの成分は、 5,-3 と表される。 ベクトルの大きさ 今度はベクトルの大きさを考えてみる。 左の図のように縦方向の矢印線分を平行移動させると、三平方の定理が使える直角三角形ができあがる。 ところで、ベクトルOAとその逆ベクトルAOは、大きさの等しいベクトルである。 だが、ベクトルの大きさ自体は同じである。 ベクトルの大きさは矢印線分の長さによって決まる。物理学の法則では、同じ一点に大きさの等しい反対方向の力が作用するとき、その力は均衡する。 したがって、ベクトルの大きさは、左の式で求められる。 原点から出発しないベクトルの成分 点Aを -1,2 、点Bを 4,-1 とすると、ベクトルABの成分は、やはり 5,-3 になる。 つまり、成分 a 1が5、成分 a 2が-3なのである。 このベクトルの成分を一般式を用いて求めると、左のようになる。 原点から出発しないベクトルの大きさ 今度はベクトルの大きさを考えてみる。 点Aを -1,2 、点Bを 4,-1 とするとき、ベクトルABの大きさを一般式を用いて求めると、左のようになる。 成分は a 1, a 2 、大きさは線分の長さになります。

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数学Bにおけるベクトルの基本とは?成分表示・計算・練習問題も|高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」

ベクトル の 成分

.内積( 1定義 2 3 4 5 ) 2.( 1 2 3 4 5 ) ベクトルの内積(スカラー積)と外積(ベクトル積)の成分表示 ベクトルの 内積(スカラー積とも言う)と 外積(ベクトル積とも言う)の成分表示を説明します。 この稿では文章中で ベクトルを表すときには 太字のアルファベット文字を用いることにする。 そして普通 などで表す。 この稿では、最も簡単な左端の表現を用いますが、普通の掛け算演算と混同される恐れが在る場合には中央あるいは右端の表現を用いる。 .( 1 2 3 4 5応用 ) 2.( 1 2 3 4 5 ) (5)応用 前節の成分表示を用いて、幾つかの重要な結論が導かれます。 また、これが成り立ては Aと Bは互いに垂直です。 .余弦定理 さらに、下図の様な三角形の各辺の長さについて が成り立つことが直ちに言えます。 すなわち となる。 .( 1 2 3 4 5 ) 2.外積( 1定義 2 3 4 5 ) 2.外積(ベクトル積) 外積についても、内積と同様な手順で説明できます。 このき、そのベクトルの方向が Aから Bに向かって右ネジを回すとき、ネジの進む方向と同じである場合を で表し、 Bから Aに向かって右ネジを回すとき、ネジの進む方向と同じである場合を で表すことにする。 つまり演算の順序が異なると、その結果を表すベクトルの方向は逆転する。 この稿では、最も簡単な左端の表現を用いますが、普通の掛け算演算と混同される恐れが在る場合には中央あるいは右端の表現を用いる。 .( 1 2 3 4 5 ) 2.( 1 2法則 3 4 5 ) (2)外積が満たす代数的性質 前節で定義したベクトル演算について、次の代数法則が成り立つ。 [証明] (1)が成り立つことは外積の定義より明らか。 また(3)が成り立つことはベクトルのスカラー倍の意味と、外積の定義より明らか。 以下で(2)が成り立つことを証明する。 ベクトル A、 B、 Cを下記の様なものだとする。 今、上図の様な、ベクトル Bと Cを含みベクトル Aに平行な面を持つ 平行六面体の角柱OBDCAEGFを考える。 つまり が成り立つ。 [終わり] .( 1 2 3 4 5 ) 2.( 1 2 3 4成分表示 5 ) (4)外積の成分表示 前々節と前節の結論を用いれば、外積の成分表示が直ちに導かれる。 この関係式はとても重要です。 特に 剛体の力学を論じるとき必須の公式となります。 [] このとき、この成分表示で示されるベクトルの大きさが、実際にベクトル Aとベクトル Bが作る平行四辺形の面積である事は直ちに確認できる。 [] 上で説明した様にベクトル積 の大きさはベクトルAとベクトルBが作る平行四辺形の面積でした。 そのため上記の式とベクトル i との内積 は前述の平行四辺形をyz平面へ射影した図形の面積となります。 同様に は前述の平行四辺形をzx平面へ射影した図形の面積であり は前述の平行四辺形ををxy平面へ射影した図形の面積となります。 .( 1 2 3 4 5 ) 2.( 1 2 3 4 5応用 ) (5)応用 前節の成分表示を用いて、幾つかの重要な結論が導かれます。 つまり外積の演算の結合順序を変えると異なったベクトルとなる。 これは外積の定義に従って実際にベクトルを求めてみれば直ちに明らかになることです。 .平行六面体の体積 下記の様な三つのベクトル A、B、Cで構成される平行六面体の体積は直ちに求まる。 内積と外積の定義より の関係が成り立ちます。 これは行列式 に等しい。 ここでベクトル A、B、Cは互いに右手回りのサイクリックな関係になっていることに注意。 もし Cが Aと Bが作る平面に対して図の反対側にあれば、スカラー三重積の値は負になる。 [] 上記平行六面体の体積をVとすると、その2乗V 2は となる。 ところで、別ページで説明する行列式の性質[]と[]から (1)転置行列の行列式は元の行列の行列式の値と同じ。 (2)2つの行列の積を作り、その行列式の値を計算すると、それは元の2つの行列の行列式を計算して乗じたものに等しい。 が成り立つ。 そのため上記の関係は以下のように変形できる。 一般相対性理論ではV 2は基本計量テンソルg ijの行列式で表される。 このことについては別稿を参照されたし。 .スカラー三重積の性質 i、j、kを右手直交座標系の単位ベクトルとすれば、直ちに が言える。 次に、下記のいずれの表現も、同一の平行六面体の体積を示しているので、直ちにこれらの関係式が成り立つことが言える。 また、内積(スカラー積)の交換の法則を上式に適用すると が言える。 このときベクトル A、B、Cの順番はサイクリックに回さなければならないことに注意。 上記の二式と内積、外積の交換法則により、[ A,B,C]の任意の二つの順番を入れ替えると符号が変わることが解る。 このとき前項と前々項の結論を用いれば が成り立つ。 ここで A=C、 B=Dのときには が成り立つ。

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空間ベクトルの成分表示と垂直・平行条件をわかりやすく!

ベクトル の 成分

ベクトルの足し算・引き算 次に、ベクトルの足し算・引き算を、ベクトルの成分を使ったときにどうなるかを見ていきましょう。 このとき、基本ベクトルを用いて、これらのベクトルを書き直してみましょう。 つまり、成分で考えると、「ベクトルの和は、それぞれの成分の和である」ということができます。 差の場合も同様です。 ベクトルの定数倍 続いて、ベクトルの整数倍を、成分を用いて考えてみましょう。 つまり、成分で考えると、「ベクトルの定数倍は、それぞれの成分の定数倍である」ということができます。 ベクトルの成分と演算 以上から、 ベクトルの和は成分の和、ベクトルの差は成分の差、ベクトルの定数倍は成分の定数倍、であることがわかりました。 で見た通り、もともと、ベクトルの和は、しりとりのようにつなげるんだとか、平行四辺形の対角線だなどと考えていて、今までの足し算と少し様子が違うようにも見えました。 しかし、成分で考えれば、今まで扱ってきた「数の足し算」とうまくリンクしているように見えますね。 最後に、実際に具体的な計算をしてみましょう。 このことからわかる通り、成分で考えると、図をかかなくても計算することができるんですね。 これは、成分を考えることの大きなメリットです。 (実際の問題を解くときには図をかいたほうがわかりやすくなることが多いですが).

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